自由空間でのマクスウェル方程式

＊自由空間でのマクスウェル方程式

★自由空間での各パラメタ
① 誘電率 ε = ε₀
② 透磁率 µ = μ₀
③ 伝導率 σ = 0
④ 電荷分布 ρ = 0、電流分布 J = 0

短縮系のマクスウェル方程式

＊短縮系のマクスウェル方程式

・・・ファラデーの方程式とアンペアの方程式を満たすならば、2本のガウスの方程式も満たされる。

Question;

時間・空間的に変化する電磁界について、ファラデーの方程式とアンペアの方程式から電界、磁界に関するガウスの方程式を導け。(ヒント: div rot A = 0 と div J = ρ を用いよ)

空間の固有インピーダンス

＊空間の固有インピーダンス

Question;
大気中を伝搬する平面電磁界におけるある点の電界強度が 100 (mV/m) である時、同時に進行する磁界の強度 H (A/m)はいくらか。ただし、大気の固有インピーダンス η = √(µ₀/ε₀) = 376.7 (Ω) として計算せよ。


Solution;
Ans. H = 265 (µA/m)

平面波の伝搬

＊平面波の伝搬
・・・Maxwell方程式を平面波の仮定をして解くと、電界と磁界は直交して、大きさは E = ηH (η: 大気の固有インピーダンス = 377Ω) の関係が成立する。 (3ページ)

電磁界の理論速度

＊電磁界の理論速度
・・・よく知られている通り、光速度 c = 3.0×10⁸ m/sec

Question;
(1) 真空で、電荷・電流の存在しない場合のマクスウェル方程式を全て書け。
(2) その結果から、電界ベクトル E に対して次の形の方程式: (∆ - 1/c²・∂²/∂t²)E = O を作り、この時の c の値を言え。


Solution;

マクスウェル方程式

＊マクスウェル方程式 (Maxwell Equation, M.eq.)

ポインティングベクトル (例題)

Question;
半径 a, b (a<b) の十分長い同軸円筒導体に電圧 V をかけると、往復電流 I が流れた。導体間のポインティングベクトルの大きさと向きを求めて、電力(エネルギー)の流れを考えよ。


Solution;
S = VI / 2πr² ln(b/a)   [W/m²]

ポインティングベクトル

＊ポインティングベクトル
・・・S = E×H   [W/m²]   であり、面に出入りする電力を表す。

平行平板コンデンサの磁界

＊平行平板コンデンサの磁界

Question;
面積 S の平行平板コンデンサに一様な電荷 Q = Q₀ sinωt が分布する時、電極間の磁界を求めよ。また、ポインティングベクトルを求めよ。


Solution;

ポインティングベクトルが抜けてます。

電磁波の方程式

＊電磁波の方程式

・z軸上を進む電磁波

Maxwell方程式

＊Maxwell方程式

拡張されたアンペアの法則

＊拡張されたアンペアの法則
変位電流の導入により、アンペアの法則を拡張する。
結果は・・・rot  H = J +∂D/∂t
This is one of the Maxwell quations!

例題- 変位電流

Question;
面積 S [m²] の円形の極板を持つ平行平板コンデンサある。コンデンサの電荷が、時間の関数; Q(t) = Q₀ sin(t) で与えられている時の変位電流を求めよ。

Direction;
(変位電流密度) = ∂D / ∂t   [A/m²]

Solution;

変位電流

＊変位電流

"コンデンサの板間には電流はながれていないので、電流は不連続である"

という概念から抜け出し、電束の時間微分である変位電流を導入する。

電束というのは、電荷が離れたところに "実質的電荷" の効果を与えると考える。

(電荷というのはそれが存在している部分しか電荷と呼ばないが、離れていても電荷と実質的に等しいものがあると考える。)